Методика расчета индуктивности системы из двух соосных цилиндрических соленоидов

На практике достаточно часто приходится иметь дело с системами из двух соосных цилиндрических соленоидов (катушек), некоторые из геометрических размеров которых совпадают, и намотанными одним и тем же проводом по одной технологии, включенных встречно [4] или последовательно [7]. Рассчитать собственную индуктивность цилиндрического соленоида можно, например, с помощью программы Coil [1]. Чтобы найти индуктивность системы двух последовательно или встречно включенных соленоидов 1 и 2, необходимо знать их взаимную индуктивность M₁₂. Тогда:

L = L₁ + L₂ + 2M₁₂ при последовательном включении

L = L₁ + L₂ - 2M₁₂ при встречном включении

где L - индуктивность системы соленоидов, L₁, L₂ - собственная индуктивность каждого из соленоидов, М₁₂ - взаимная индуктивность соленоидов.

Чтобы найти взаимную индуктивность M₁₂, воспользуемся фиктивной катушкой 3, расположенной между соленоидами 1 и 2.

Тогда можно записать систему уравнений:

L₁₂₃ = L₁ + L₂ + L₃ + 2M₁₂ + 2M₁₃ + 2M₂₃

L₁₃ = L₁ + L₃ + 2M₁₃

L₂₃ = L₂ + L₃ + 2M₂₃

Здесь L₁₂₃ - собственная индуктивность соленоида, составленного из катушек 1, 2 и 3, L₁₃ - собственная индуктивность соленоида, составленного из катушек 1 и 3, L₂₃ - собственная индуктивность соленоида, составленного из катушек 2 и 3, L₁, L₂ и L₃ - собственные индуктивности соленоидов 1, 2 и фиктивной катушки 3, соответственно.

Исключая из этой системы уравнений взаимные индуктивности M₁₃ и M₂₃, получим:

M₁₂ = 0.5 (L₁₂₃ + L₃ - L₁₃ - L₂₃)

Каждая из величин в выражении для взаимной индуктивности M₁₂ может быть рассчитана с помощью основной или демонстрационной версии программы Coil [1] по известным геометрическим размерам системы соленоидов (внутренний и внешний радиус, высота, расстояние между соленоидами), диаметру обмоточного провода и фактору упаковки [6].

Пример 1: дифференциальный электромагнитный (магнитоэлектрический) привод [4]

Для дифференциального соленоида электромагнитного (магнитоэлектрического) привода, когда одинаковые катушки вплотную примыкают друг к другу и включены встречно, можно записать:

L = 2L₀ - 2M

или

L = 4L₀ - L₊

где L - индуктивность дифференциального соленоида, L₀ - собственная индуктивность каждой из катушек, M - взаимная индуктивность катушек, L₊ - собственная индуктивность соленоида, составленного из двух катушек при их последовательном включении.

Например, для дифференциального соленоида с размерами каждой из составляющих его катушек R1 = 0.01 м (радиус отверстия), R2 = 0.02 м (внешний радиус), H = 0.03 м (высота, то есть высота дифференциального соленоида равна 2H = 0.06 м), намотанных проводом диаметром 0.001 м (1 мм) с фактором упаковки Lambda = 0.6, расчет с помощью программы Coil дает:

L₀ = 0.8 мГн, L₊ = 2 мГн

Тогда L = 4 ∙ 0.8 - 2 = 3.2 - 2 = 1.2 мГн

Аналогичный результат дает расчет с помощью программы M_Drive [3].

Пример 2: кольца Гельмгольца [7]

Для системы колец Гельмгольца, составленных из одинаковых последовательно включенных катушек, можно записать:

L = 2L₀ + 2M

или

L = 2L₀ + L₀₃₀ + L₃ - 2L₀₃

где L - индуктивность системы колец Гельмгольца, L₀ - собственная индуктивность каждой из составляющих систему катушек, M - взаимная индуктивность катушек, L₃ - собственная индуктивность фиктивной катушки, расположенной в объеме между катушками системы, L₀₃₀ - собственная индуктивность соленоида, составленного из катушек системы и фиктивной катушки, L₀₃ - собственная индуктивность соленоида, составленного из фиктивной катушки и одной из катушек системы.

Например, для системы колец Гельмгольца с размерами каждой из составляющих ее катушек R1 = 0.01 м (радиус отверстия), R2 = 0.02 м (внешний радиус), H = 0.03 м (высота), намотанных проводом диаметром 0.001 м (1 мм) с фактором упаковки Lambda = 0.6, при расстоянии между катушками, равном 0.01 м (высота фиктивной катушки) расчет с помощью программы Coil дает:

L₀ = 0.8 мГн, L₀₃₀ = 2.4 мГн, L₃ = 0.15 мГн, L₀₃ = 1.2 мГн

Тогда L = 2 ∙ 0.8 + 2.4 + 0.15 - 2 ∙ 1.2 = 1.6 + 2.4 + 0.15 - 2.4 = 1.75 мГн

Аналогичный результат дает расчет с помощью программы H_Coils [2].

Ссылки:

1. Coil: Программа для расчета параметров и магнитного поля цилиндрического соленоида
2. H_Coils: Программа для расчета параметров и магнитного поля системы колец Гельмгольца
3. M_Drive: Программа расчета магнитоэлектрического привода
4. Двухпозиционный электромагнитный привод (затвор)
5. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справочная книга. - 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1986. - 488 с.: ил.
6. Расчет фактора упаковки при намотке соленоидов
7. Системы колец Гельмгольца (катушки Гельмгольца)

Словарь терминов:

• Взаимная индуктивность - величина, численно равная магнитному потоку через один из двух контуров, создаваемому собственным магнитным полем тока единичной силы в другом контуре.
• Встречное включение соленоидов - электрически последовательное включение соленоидов, приводящее к уменьшению суммарного магнитного потока.
• Дифференциальный соленоид - соленоид, состоящий из двух одинаковых соленоидов, расположенных соосно вблизи друг от друга и включенных встречно.
• Индуктивность - величина, численно равная потоку самоиндукции контура при токе единичной силы.
• Катушка индуктивности - контур (цепь), специально предназначенный для создания собственного магнитного поля за счет протекающего по контуру тока.
• Катушки Гельмгольца - система из двух одинаковых последовательно включенных цилиндрических соленоидов, расположенных соосно, причем расстояние между центрами соленоидов приблизительно равно их среднему радиусу. В центре системы имеется зона однородного магнитного поля.
• Кольца Гельмгольца - система из двух одинаковых кольцевых витков с током, расположенных соосно на расстоянии радиуса витка друг от друга и соединенных между собой последовательно. В центре системы имеется зона однородного магнитного поля.
• Последовательное включение соленоидов - электрически последовательное включение соленоидов, приводящее к увеличению суммарного магнитного потока.
• Поток самоиндукции контура - магнитный поток, создаваемый собственным магнитным полем тока в контуре, сквозь поверхность, ограниченную контуром.
• Соленоид (от греч. solen - трубка и eidos - вид) - осесимметричная катушка индуктивности.
• Цилиндрический соленоид - соленоид в виде цилиндра с центральным цилиндрическим отверстием (если таковое имеется).

03.11.2005
06.02.2006
10.12.2006

Альтернативные источники энергии
Компьютеры и Интернет
Магнитные поля
Механотронные системы
Перспективные разработки
Электроника и технология

Главная страница